User talk:Jaime.rincon

Limites
Evalue los siguientes límites:

1. $$lim_{x\to 4}\frac {x-4} {x^2-x-12}$$
 * Respuesta:
 * $$lim_{x\to 4}\frac {x-4} {(x-4)(x+3)}$$
 * $$lim_{x\to 4}\frac {x-4} {x+3}$$
 * $$= 1/7$$

Jaime.rincon

2. $$lim_{x\to 3}\frac {x^3-27} {x^2-9}$$
 * Respuesta:
 * $$lim_{x\to 3}\frac {(x-3)(x^2+3x+9)} {(x-3)(x+3)}$$
 * $$lim_{x\to 3}\frac {x^2+3x+9} {x+3}$$
 * $$= 9/2$$

Jaime.rincon

3. $$lim_{h\to 0}\frac {(x+h)^2-x^2} {h}$$
 * Respuesta:
 * $$lim_{h\to 0}\frac {x^2+2hx+h^2-x^2} {h}$$
 * $$lim_{h\to 0}{2x+h}$$
 * $$= 2x$$

Jaime.rincon

4. $$lim_{x\to \infin}\frac {3x-2} {8x+7}$$
 * Respuesta:

$$lim_{x\to \infin}\frac {3-(2/x)} {8+(7/x)}$$ $$= 3/8$$ Jaime.rincon

5. $$lim_{x\to \infin}\frac {6x^2+2x+1} {5x^2-3x-4}$$
 * Respuesta:

$$lim_{x\to \infin}\frac {6+(2/x)+(1/x^2)} {5-(3/x)-(4/x^2)}$$ $$= 6/5$$ Jaime.rincon

6.$$lim_{x\to \infin}\frac {x^2+x-2} {4x^3-1}$$
 * Respuesta:

$$lim_{x\to \infin}\frac {(1/x)+(1/x^2)-(2/x^3)} {4-(1/x^3)}$$ $$=0$$ Jaime.rincon 7.$$lim_{x\to \infin}\frac {2x^3} {x^2+1}$$
 * Respuesta:

$$lim_{x\to \infin}\frac {2} {(1/x)+(1/x^3)}$$ $$= n.e$$ Jaime.rincon

8.$$lim_{x\to 3}\frac {x^2-9} {x^2-6x+9}$$
 * Respuesta:

$$lim_{x\to 3}\frac {(x-3)(x+3)} {(x-3)(x-3)}$$ $$lim_{x\to 3}\frac {x+3} {(x-3)}$$ $$= 6/0 = n.e$$ Jaime.rincon

9.$$lim_{x\to 2}\frac {|x^2-4|} {x-2}$$
 * Respuesta:

$$lim_{x\to 2}\frac {(x+2)(x-2)} {x-2}$$ $$= -4$$ $$= 4$$ Jaime.rincon
 * si x<2, $$lim_{x\to 2}\frac {|x^2-4|} {x-2}=lim_{x\to 2}\frac {-x^2+4} {x-2}$$
 * si x>2, $$lim_{x\to 2}\frac {|x^2-4|} {x-2}=lim_{x\to 2}\frac {x^2-4} {x-2}$$

10.$$lim_{x\to 0}\frac {\sqrt[2]{9+x}-3} {x}$$
 * Respuesta:

=$$lim_{x\to 0}[\frac {\sqrt[2]{9+x}-3} {x}][\frac {\sqrt[2]{9+x}+3} {\sqrt[2]{9+x}+3}]$$ =$$lim_{x\to 0}\frac {x} {x[\sqrt[2]{9+x}+3]}$$ =$$lim_{x\to 0}\frac {1} {\sqrt[2]{9}+3}$$ =$$1/6$$ Jaime.rincon

Derivadas
De las siguientes funciones, encuentre sus derivadas:

1.$$f(x)=\sqrt[2]{1-x^2}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac {-x} {\sqrt[2]{1-x^2}}$$ Jaime.rincon

2.$$f(x)=\frac {x^2+x+1} {x^2-x+1}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac {(2x+1)(x^2-x+1)-(2x-1)(x^2+x+1)} {(x^2-x+1)^2}$$ $$f'(x)=\frac {-2(x^2-1)} {(x^2-x+1)^2}$$ Jaime.rincon 3.$$f(x)=\frac {xa} {x^2-a^2} + \frac {xa} {x^2+a^2}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac {a(x^2-a^2)-xa(2x)} {(x^2-a^2)^2} + \frac {a(x^2+a^2)-xa(2x)} {(x^2+a^2)^2}$$ $$f'(x)=\frac {-a(x^2-a^2)} {(x^2-a^2)^2} + \frac {a(x^2+a^2)} {(x^2+a^2)^2}$$ Jaime.rincon

4.$$f(x)=\frac {x-\sqrt[2]{x}} {x+\sqrt[2]{x}} $$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac {(1-1/2\sqrt[2]{x})(x+\sqrt[2]{x})-(x-\sqrt[2]{x})(1-1/2\sqrt[2]{x})} {(x+\sqrt[2]{x})^2}$$ $$f'(x)=\frac {2\sqrt[2]{x}+1} {(x+\sqrt[2]{x})^2}$$ Jaime.rincon

5.$$f(x)=\frac {2x^2+x-8} {3x+2}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac{(4x+1)(3x+2)-3(2x^2+x-8)} {(3x+2)^2}$$ $$f'(x)=\frac{6x^2-8x+26} {(3x+2)^2}$$ Jaime.rincon

6.$$f(x)=\frac {x^2*a^2} {x^3+a^3}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac {2xa^2(x^3+a^3)-3x^2(x^2*a^2)} {(x^3+a^3)^2}$$ $$f'(x)=\frac {xa^2(2a^3-x^3)} {(x^3+a^3)^2}$$ Jaime.rincon

7.$$f(x)=\sqrt[2]{(\frac {x+1}{x-1})^3}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=(\frac {x+1}{x-1})^3/2$$ $$f'(x)=3/2(\frac {x+1}{x-1})^1/2*\frac {(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}$$ $$f'(x)=\frac {-3}{(x-1)^2}*\sqrt[2]{\frac {x+1}{x-1}}$$ Jaime.rincon

8.$$f(x)= \frac{\sqrt[2]{x^2+x+1}} {\sqrt[2]{x^2-x+1}}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)= (\sqrt[2]{x^2+1})-(\sqrt[2]{x^2-1})$$ $$f'(x)= 1/2(\frac{2x} {\sqrt[2]{x^2+1}})-1/2(\frac{2x} {\sqrt[2]{x^2-1}})$$ $$f'(x)= x({\frac{1} {\sqrt[2]{x^2-1}}}-{\frac{1} {\sqrt[2]{x^2-1}}})$$ Jaime.rincon

9.$$f(x)= \frac{\sqrt[3]{x+1}+1} {\sqrt[3]{x+1}-1}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)= 1+ \frac {2} {\sqrt[3]{x+1}-1}$$ Jaime.rincon

10.$$F(x)= x\sqrt{5+x^2}$$
 * Respuesta:

$$F'(x)= \sqrt{5+x^2}+x\cdot \frac {1}{2\sqrt{5+x^2}}\cdot 2x$$ $$F'(x)= \sqrt{5+x^2}+\frac {2x^2}{2\sqrt{5+x^2}}$$ $$F'(x)= \frac {\sqrt{5+x^2}+x^2}{\sqrt{5+x^2}}$$ $$F'(x)= \frac {5+x^2+x^2}{\sqrt{5+x^2}}$$ $$F'(x)= \frac {5+2x^2}{\sqrt{5+x^2}}$$ Jaime.rincon

11.$$ f(x)=\frac {1-senx}{1+cosx}$$
 * Respuesta:

$$ f'(x)=\frac {-cosx(1+cosx)-(1-senx)-senx}{1+cosx}$$ $$ f'(x)=\frac {-cosx-cos^2x+senx-sen^2x}{1+cos^2x}$$ $$ f'(x)=\frac {-cosx-1+sen^2x+senx-sen^2x}{(1+cosx)^2}$$ $$ f'(x)=\frac {-cosx-1+senx}{(1+cosx)^2}$$ Jaime.rincon

12.$$\ f(x)= (sen(x)+tan(x)) (sec(x)-tan(x))$$
 * Respuesta:

$$\ f'(x)=(tan(x)sec(x)+sec(x)^2)(sec(x)-tan(x))+(tan(x)sec(x)-sec(x)^2)(sec(x)tan(x))$$ $$\ f'(x)=(tan(x)sec(x)+sec(x)^2)(sec(x)-tan(x))+(tan(x)sec(x)-sec(x)^2)(sec(x)+tan(x))$$ $$\ f'(x)=(tan(x)sec(x)^2-tan(x)^2sec(x)+sec(x)^3-sec(x)^2tan(x))+(tan(x)sec(x)^2+tan(x)^2sec(x)-sec(x)^3-sec(x)^2tan(x))$$ $$\ f'(x)= -tan(x)^2sec(x)+sec(x)^3+tan(x)^2sec(x)-sec(x)^3$$ $$\ f'(x)= 0 $$ Jaime.rincon

13.Hallar f''(x) si f(x)=$$\frac {x^2}{x^2-9}$$ f(x)=$$\frac {x^2}{x^2-9}$$
 * Respuesta:

f'(x)=$$\frac {2x(x^2-9)-x^2(2x)}{(x^2-9)^2}$$ f'(x)=$$\frac {2x^3-18x-2x^3}{(x^2-9)^2}$$ f'(x)=$$\frac {-18x}{(x^2-9)^2}$$ f''(x)=$$\frac {-18(x^2-9)^2+18x(4x)(x^2-9)}{(x^2-9)^4}$$ f''(x)=$$\frac {(x^2-9)[-18(x^2-9)+72x^2]}{(x^2-9)^4}$$ f''(x)=$$\frac {54x^2+162}{(x^2-9)^3}$$ Jaime.rincon 14.$$ f(x)=\frac {(x-1)^2}{x^2}$$
 * Respuesta:

$$ f'(x)=\frac {2(x-1)(x^2)-(x-1)^22x}{x^4}$$ $$ f'(x)=\frac {(2x-2)(x^2)-(x^2-2x+1)2x}{x^4}$$ $$ f'(x)=\frac {2x^3-^2x^2-2x^3+4x^2-2x}{x^4}$$ $$ f'(x)=\frac {2x^2-2x}{x^4}$$ $$ f'(x)=\frac {2x(x-1)}{x^4}$$ $$ f'(x)=\frac {2(x-1)}{x^3}$$ Jaime.rincon

15.$$ f(x)=x+(\frac {1}{x})^2$$
 * Respuesta:

$$ f'(x)=2(x+\frac {1}{x})(1-\frac {-1}{x^2})$$ $$ f'(x)=(2x+\frac {2}{x})(1-(\frac {1}{x^2})$$ $$ f'(x)=(\frac {2x^2+2}{x})(\frac {x^2-1}{x^2})$$ $$ f'(x)=\frac {2x^2-2x^2+2x^2-2}{x^3}$$ $$ f'(x)=\frac {2x^4-2}{x^3}$$ Jaime.rincon

Maximos y minimos
1.La función y = f(x)/x tiene valor extremo en Saa. Demostrar que la recta tangente a la curva y = f(x)en x = a pasa por el origen.


 * Y = f(x)/x,


 * Dy/dx = f’ (x) x – f’ (x)/x2

Entonces tenemos


 * f’(a)a=f(a)            (1)

La ecuación de la recta tangente a la curva  y=f(x) en (a, f(a)) es:


 * y–f(a)=f’(a)(x-a)            (2)

Reemplazando la condición (1) en (2):


 * y–f(a)=f’(a)[x–f(a)]

O sea


 * y = f’(a)(x),

ésta pasa por el origen.

2. Hallar el máximo y el mínimo de 3x + 4y cuando x2 + y2 = 1,

Sea S = 3x + 4y donde x2 + y2 = 1      (x ³ 0, y ³ 0)

En los puntos críticos tenemos:


 * dS/dx=3+4(y’)=0


 * 2x+2y(y’)=0


 * $$4x=3y$$

entonces:


 * $$x = 3/5$$, $$y = 4/5$$, $$S = 5$$

En los extremos los valores de S son:


 * $$x = 0$$, $$y = 1$$; $$S = 4$$
 * $$x = 1$$, $$y = 0$$; $$S = 3$$

Por lo tanto:

Máximo de S = 5, Mínimo de S = 3

3.Pruebe que la distancia mínima al eje OX del punto máximo o mínimo de la curva y = ax2+bx+c se obtiene sí b2–4ac=0.

El punto máximo (o mínimo) de la curva y=ax2 +bx+c esta en


 * $$x=-b/2a$$,  :$$y=-b+4ac/4a$$

La distancia del punto al eje OX es:


 * D=|-b^2+4ac/4a|

Entonces D es mínimo cuando b–4ac=0


 * y = f’(a)(x),

ésta pasa por el origen.

Razón de cambio
1.Sean OA, OB y OC tres aristas mutuamente perpendiculares de un paralelepípedo. Si OA crece $$1cm$$/seg, OB crece $$2$$cm/seg y OC decrece 3 cm/seg. Diga con qué rata varía el volumen del sólido cuando OA=$$10$$cm, OB=$$8$$cm, OC=$$12$$cm?

Sean x=OA,y=OB,z=OC,entonces por hipótesis:


 * dx/dt=$$1$$(cm/seg),dy/dt=$$2$$(cm/seg),dz/dt=$$

-3$$(cm/seg),

Sea V el volumen del paralelepípedo entonces


 * dV/dt=(dx/dt)(yz)+(xz)(dy/dt)+(x)(y)(dz/dt)

Si x=$$10$$,y=$$8$$,z=$$12$$ entonces


 * dV/dt=$$(1)(8)(12)$$+$$2(10)(12)$$+$$(-3)(10)(8) $$


 * = $$96$$ ($$cm^3$$/seg).

2.La altura y el radio de un cilindro circular recto aumentan a las velocidades de a cm/seg y b cm/seg. ¿Cuáles son las ratas de crecimiento de su volumen y su superficie total? Sean V, S el volumen y la superficie del cilindro de radio r y altura h, entonces


 * V =$$\pi r2 $$h S =$$2 \pi r2+2 \pi$$r h

entonces


 * dV/dt=$$2 \pi$$r h(dr/dt)+$$\pi r^2$$h(dh/dt)


 * dS/dt =$$4 \pi$$r(dr/dt)+$$2 \pi$$h(dr/dt)+$$2 \pi$$r(dh/dt)

Pero como dh/dt=a, dr/dt=b entonces tenemos


 * dV/dt=$$\pi$$r($$2$$h b+r a)


 * dS/dt=$$2 \pi$$($$2$$r b+h b+r a)

3.Sea f(x) derivable en $$x >0$$, y f(0)= $$0$$, si f ’(x) es creciente en $$x>0$$ entonces demuestre que g(x)=F(x)/x es también creciente en $$x >0$$.


 * g’(x)=[f’(x)(x)–f(x)]/$$x^2$$


 * f‘(x)(x)–f(x)=f‘(x)(x)–[f(x)–f(0)]


 * =f‘(x)x–f(c)(x–$$0$$)	 ($$0$$$$0$$