User:StevenM

LIMITES
Ejercicio 1


 * $$\lim_{x\to -2}\frac {5x+10}{x+2}$$


 * $$\lim_{x\to -2}\frac {5(x+2)}{x+2}$$


 * $$\ 5$$

Ejercicio 2


 * $$\lim_{x\to -4}\frac {x^2-3x-4}{x^2+7x+6}$$


 * $$\lim_{x\to -4}\frac {(x-4)(x+1)}{(x+6)(x+1)}$$


 * $$\lim_{x\to -4}\frac {(x-4)}{x+6}$$


 * $$\frac {-4-4}{-4+6}$$


 * $$\frac {-8}{2}$$


 * $$\ -4$$

Ejercicio 3


 * $$\lim_{x\to -5}\frac {x+5}{x^2+8x-15}$$


 * $$\lim_{x\to -5}\frac{-5+5}{-5^2+8*5-15}$$


 * $$\lim_{x\to -5}\frac{0}{30}$$


 * $$\ 0$$

Ejercicio 4


 * $$\lim_{x\to 6}\frac {x^2-8x+12}{x^2-9x+18}$$


 * $$\lim_{x\to 6}\frac{(x-6)(x-2)}{(x-6)(x-3)}$$


 * $$\lim_{x\to 6}\frac{x-2}{x-3}$$


 * $$\frac {6-2}{6-3}$$


 * $$\frac {4}{3}$$

Ejercicio 5


 * $$\lim_{x\to \infty}\frac{2x^5-x^3+1}{x^5}$$


 * $$\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{2x^5}{x^5}-\frac{x^3}{x^5}+\frac{1}{x^5}}{\frac{x^5}{x^5}}$$


 * $$\frac {(2-0+0)}{(1)}$$


 * $$\ 2$$

DERIVADAS
Ejercicio 1


 * $$\ y={3x^5-2x}{2x^3}$$


 * $$\ y'=\frac {(15x^4-2)(2x^3)-(3x^5-2x)(6x^2)}{4x^6}$$


 * $$\ y'=\frac {(30x^7-4x^3-18x^7+12x^3)}{4x^6}$$


 * $$\ y'=\frac {12x^7+8x^3}{4x^6}$$

Ejericicio 2


 * $$\ y=\frac {(3x^2-8x)(2x-4)}{4x^6}$$


 * $$\ y'=\frac {4x^6((3x^2-8x)(2)+(2x-4)(6x-8))}{(4x^6)^2}$$


 * $$\ y'=\frac {4x^6(6x^2-16x+12x^2-16x-24x+32)}{(4x^6)^2}$$


 * $$\ y'=\frac {4x^6(18x^2-56x+32)}{(4x^6)^2}$$


 * $$\ y'=\frac {124x^7+98x^6}{(4x^6)^2}$$

Ejercicio 3


 * $$\ f(x)= sen^10({x+1})^\frac {1}{2}$$


 * $$\ f'(x)= 10sen^9({x+1})^\frac {1}{2}*cos({x+1})^\frac {1}{2}*\frac {1}{2}(x+1)^\frac{-1}{2}$$

Ejercicio 4


 * $$\ f(x)= (cos^2(3X)+sen^4(5X))^\frac {1}{3}$$


 * $$\ f'(x)= \frac {1}{3}(cos^2(3X)+sen^4(5X))^\frac {-2}{3}*({2cos(3x)}*{-sen(3x)*(3)}

{4sen^3(5x)}*{cos(5x)*(5)})$$

Ejercicio 5


 * $$\ f(x)= cos(cos(cos(3x)))$$


 * $$\ f'(x)= -sen(cos(cos(3x)))*-sen(cos(3x))*-sen(3x)*3$$

Ejercicio 6


 * $$\ y^3tang^2(x^2)+y^2sec(x)+(y)^\frac {1}{3}=0$$


 * $$\ y^3*2tang(x^2)*sec^2(x^2)*2x+tang^2(x^2)*3y*y'+y^2*sec(x)tang(x)+sec(x)*2y*y'+ \frac {1}{3}(y)^\frac {-2}{3}*y'=0$$


 * $$\ tang^2(x^2)*3y*y'+sec(x)*2y*y'+ \frac {1}{3}(y)^\frac {-2}{3}*y'=-(y^3*2tang(x^2)*sec^2(x^2)*2x+y^2*sec(x)tang(x))$$


 * $$\ y'(tang^2(x^2)*3y+sec(x)*2y+ \frac {1}{3}(y)^\frac {-2}{3})=-(y^3*2tang(x^2)*sec^2(x^2)*2x+y^2*sec(x)tang(x))$$


 * $$\ y'= \frac {-(y^3*2tang(x^2)*sec^2(x^2)*2x+y^2*sec(x)tang(x))}{(tang^2(x^2)*3y+sec(x)*2y+ \frac {1}{3}(y)^\frac {-2}{3})}$$

RAZON DE CAMBIO
Ejercicio 1

Dos personas "a" y "b"caminan por calles rectas, que se crusan en un angulo recto, el caminante "a" se hacerca a la intersecciòn a 2m/sg y el "b" se aleja a 1m/sg. ¿cual es la razon de cambio del angulo "x" cuando "a" este a 10m de la intersecciòn y "b" a 20m?.


 * $$\ Datos:$$
 * $$\ sa=10m$$
 * $$\ sb=20m$$
 * $$\frac {da}{dt}=-2m/sg$$
 * $$\frac {db}{dt}=1m/sg$$
 * $$\frac {dx}{dt}=?$$


 * $$\ Solucion:$$


 * $$\ tang(x)=\frac {sa}{sb}$$
 * $$\ tang(x)=(sa)(sb)^-1$$
 * $$\ sec^2(x)*\frac {dx}{dt}=(sa)(-sb)^-2*\frac {db}{dt}+(sb)^-1*\frac {dx}{dt}$$
 * $$\ sec^2(x)*\frac {dx}{dt}=\frac {sa}{(-sb)^2}*\frac {db}{dt}+\frac {1}{sb}*\frac {dx}{dt}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {sa}{(-sb)^2}*\frac {db}{dt}+\frac {1}{sb}*\frac {dx}{dt}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {10}{(-20)^2}*1+\frac {1}{20}*(-2)}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {10}{-400}+\frac {-1}{10}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {1}{-40}+\frac {-1}{10}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {40+10}{-400}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {50}{-400}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {5}{-40}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {5}{-40}}{\frac {5}{4}}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {20}{-200}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {2}{-20}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {1}{-10}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=-0.1rad/sg$$

Ejercicio 2

Un recipiente tiene forma de cono circular con altura "h" igual a 10m y un radio "r" igual a 4m, se introduce agua en el recipiente a una velocidad constante de 5m/min, ¿con que velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad es de 5m y el vertice del cono esta hacia arriba?.


 * $$\ Datos:$$
 * $$\ h=10m$$
 * $$\ r=4m$$
 * $$\frac {dv}{dt}=5m^3/min$$
 * $$\frac {dh}{dt}=?$$


 * $$\ Solucion:$$

primero se deja todo en funciòn de una sola variable.


 * $$\frac {r}{4}=\frac {h}{10}$$
 * $$\ r=\frac {4h}{10}$$
 * $$\ r=\frac {2h}{5}$$

luego se deriva y se remplaza en la ecuaciòn del volumen


 * $$\ v=\frac {4*phi*r^3*\frac {dr}{dt}}{3}$$
 * $$\ 5m^3/min=4*phi*\frac {2h^2}{5^2}*\frac {dh}{dt}$$
 * $$\ 5m^3/min=4*phi*\frac {2h^2}{25}*\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {5m^3/min*25}{4*phi*{2h^2}}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=75m^3/min$$

Ejercicio 3

un globo se eleva verticalmente desde un punto situado a 150 pies de de un observador, el globo sube a razon de 8pies/sg, ¿cual sera la rapidez de separaciòn del globo con respecto al observador, cuando la altura sea de 50 pies?.


 * $$\ Datos:$$
 * $$\ d=150m$$
 * $$\ h=50m$$
 * $$\ s=?$$
 * $$\frac {dh}{dt}=8pies/sg$$
 * $$\frac {ds}{dt}=?$$


 * $$\ Solucion:$$

primero se despeja el valor de la que forman la altura y la distancia con el observador.


 * $$\ s^2=h^2+150^2$$
 * $$\ s=(50^2+150^2)^\frac {1}{2}$$
 * $$\ s=(2500+67500)^\frac {1}{2}$$
 * $$\ s=70000^\frac {1}{2}$$
 * $$\ s=264.57pies$$

luego se derivan las variables y se remplazan los valores.


 * $$\ s^2=h^2+150^2$$
 * $$\ 2s*\frac {ds}{dt}=2h*\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {ds}{dt}=\frac {2h}{2s}*\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {ds}{dt}=\frac {h}{s}*\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {ds}{dt}=\frac {50}{264.57}*8pies/sg$$
 * $$\frac {ds}{dt}=0.188*8pies/sg$$
 * $$\frac {ds}{dt}=1.51pies/sg$$

Ejercicio 4

las aristas de un cubo variable aumentan a razon de 3pulg/sg, ¿cual sera la rapidez de variaciòn del volumen del cubo, cuando la arista tiene 10 pulgadas de largo?.
 * $$\ Datos:$$
 * $$\ l=10pulg$$
 * $$\frac {dl}{dt}=3pulg/sg$$
 * $$\frac {dv}{dt}=?$$


 * $$\ Solucion:$$
 * $$\ v=l^3$$
 * $$\ v=3l^2*\frac {dl}{dt}$$
 * $$\ v=3(10pulg)^2*3pulg/sg$$
 * $$\ v=3(100pulg^2)*3pulg/sg$$
 * $$\ v=300pulg^2*3pulg/sg$$
 * $$\ v=900pulg^3/sg$$

Ejercicio 5

Suponiendo que una burbuja de jabon mantenga una forma esferica constante, ¿cual sera la rapidez de cambio del radio de la burbuja, cuando el radio sea igual a 2 pulgadas, sabiendo que se le inyecta aire a razon de 4 pulgadas cubicas por segundo?.


 * $$\ Datos:$$
 * $$\ r=2pulg$$
 * $$\frac {dv}{dt}=4pulg^3/sg$$
 * $$\frac {dr}{dt}=?$$


 * $$\ Solucion:$$
 * $$\ v=\frac {4*phi*r^3}{3}$$
 * $$\frac {dv}{dt}=\frac {4*phi}{3}*3r^2*\frac {dr}{dt}$$
 * $$\frac {dv}{dt}=4*phi*r^2*\frac {dr}{dt}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {\frac {dv}{dt}}{4*phi*r^2}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {4pulg^3/sg}{4*phi*(2pulg)^2}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {4pulg^3/sg}{4*phi*(4pulg^2)}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {1pulg^3/sg}{phi*(4pulg^2)}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=0.079pulg/sg$$