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數位媒體融入教學(試教篇)
在本學期的「數學教材教法」課程中，我選擇國中課程的「解一元二次方程式」單元來試教. 所以在本課程－－數位學習，我就思考是否可以利用數位媒體來輔助教學.

這學期我選擇探討WikiBooks，所以決定利用它來呈現這個單元. 以下是我的編輯.

指導語
解一元二次方程式並不難，訣竅是觀察方程式的模樣，或是利用方程式的性質及概念來解出.

一元二次方程式
一元二次方程式是帶有一個未知數－－通常用 x 來表示－－且最大次方為 2 的方程式，我們可以用 ax2+bx+c=0 來表示，其中a、b、c為實數.

完全平方式
若某一元二次方程式是完全平方式，則它可以化成一元一次方程式的完全平方.

也就是 a(x+b)2.

如何展開一元一次方程式的完全平方？
(x+b)2=(x+b)(x+b)=x2+2bx+b2

解一元二次方程式方法(一)
若方程式是 x2+2bx+b2=0 的形式，或是此形式的實數倍，都可以利用完全平方式的概念來求解.

其解為-b，因為 (x+b)2=0 的解，就是要讓 x+b=0 使 (x+b)2=(0)2=0.


 * 例題(1): 2x2+8x+8=0

詳解:

我們先提出首項係數 2 ，使方程式變成：

2(x2+4x+4)=0

我們可以發現內的多項式是 x+2 的完全平方式，所以：

2(x2+4x+4)=0

→ 2(x+2)2=0

→ (x+2)2=0 (即 = 左右邊同除以 2)

→ x=-2

配方法
我們已知 (x+b)2 可以展開成 x2+2bx+b2 ，可以發現常數項為 x 一次項係數的一半再平方.

所以我們得知，欲構成完全平方式必須補上 x 項係數的一半再平方.

若給題為完全平方式，可以直接找 x 的解，但是若題目為非完全平方式，則須利用完全平方的概念來解題.

其方法有二：配方法與公式解.

解一元二次方程式方法(二): 配方法
我們簡單將配方法分解為四個步驟：


 * 步驟一：常數項移到等號右邊.
 * 步驟二：方程式同除以首項係數.
 * 步驟三：補項使其成為完全平方式.
 * 步驟四：解 x.

註：不一定要照著這四步走，學生可以根據原理，發展自己的解題步驟.


 * 例題(2): $$2x^2-4x+1=0$$

詳解：

步驟一：$$2x^2-4x=-1$$

步驟二：$$x^2-2x=-\frac{1}{2}$$

步驟三：$$x^2-2x+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$$

步驟四：$$(x-1)^2=\frac{1}{2}$$ → $$x-1=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$ → $$x=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$

公式解
在數字簡單的方程式下，用配方法可以快速的解出 x 的值，但是在數字複雜的方程式下，由於步驟繁多而錯誤率提高.

所以有另一種方法，可以更快的求出 x 的值，我們稱之為公式解.

解一元二次方程式方法(三)：公式解
公式解的原理是利用配方法解方程式 ax2+bx+c=0 ，其中 a 不為 0.

其推導的過程如下：

1.$$ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$$

2.$$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \frac{c}{a} = 0$$

3.$$x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \frac{c}{a} = \left ( \frac{b}{2a} \right )^2$$

4.$$x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \frac{c}{a} = \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \Rightarrow x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2  =  \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{c}{a}$$

5.$$x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 =  \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{c}{a} \Rightarrow (x + \frac{b}{2a})^2 = \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$

6.$$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

7.$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

這個複雜的式子$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$就稱作公式解.

只要知道 a、b、c ，我們就可以求出 x 的解.


 * 例題(3): $$2x^2-4x+1=0$$

詳解：

a=2

b=-4

c=1

套用公式解得知：

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot2\cdot1}}{2\cdot2}$$

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4}$$

$$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4}$$

$$x = 1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$

判別式
經由觀察我們可以發現，在公式解的式子中，$$b^2-4ac$$扮演了很重要的角色. 因為它決定了 x 解的個數.

若$$b^2-4ac$$為正數，則 x 恰有兩解.

若$$b^2-4ac$$為 0 ，則 x 恰有一解.

若$$b^2-4ac$$為負數，則 x 無解.

所以，我們提出了判別式的概念.

判別式
因為$$b^2-4ac$$非常重要，於是我們為它取名為判別式. 旨在判別 x 的解的個數.

如果將其延伸到幾何意義上，可以表示為一元二次函數的圖形與 x 軸的交點個數，這我們將在未來的課程中深入探討.

在方程式的意義上，我們只考慮如同上面的敘述：


 * 當$$b^2-4ac$$為正數，則 x 有兩相異實根.


 * 當$$b^2-4ac$$為 0 ，則 x 恰有一實根.


 * 當$$b^2-4ac$$為負數，則 x 無實數解.

註：何謂無實數解？就是在實數中，找不到此方程式的解. 但是在虛數中，我們可以找到，這也是未來的課程將會提及的領域.