User:Germany Poul Ah/sandbox

Volumen


Stellt man diese 3 an einer Ecke zusammentreffende Kanten als Vektoren $$\vec a, \vec b, \vec c$$ dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelepipeds aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalarprodukt und Kreuzprodukt). Das Volumen $$V$$ ist das Produkt der Grundfläche $$G$$ (Parallelogramm) und der Höhe $$h$$ des Parallelepipeds. Mit $$G = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin(\gamma) = |\vec a \times \vec b|$$, wobei $$\gamma$$ der Winkel zwischen $$\vec a$$ und $$\vec b$$ ist, und der Höhe $$h = |\vec c| \cdot |\cos(\theta)|$$, wobei $$\theta$$ der Winkel zwischen $$\vec c$$ und dem Normalenvektor auf der Grundfläche ist, ergibt sich
 * $$\begin{align}

V &= G \cdot h = (|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin(\gamma)) \cdot |\vec c| \cdot |\cos(\theta)| = |\vec a \times \vec b| \cdot |\vec c| \cdot |\cos(\theta)| \\ &= |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| \end{align}$$

Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt. Es kann als Determinante geschrieben werden. Für $$\vec a = (a_1,a_2,a_3)^T, \quad \vec b = (b_1,b_2,b_3)^T, \quad \vec c = (c_1,c_2,c_3)^T $$ ist das Volumen dann:
 * $$V = \left| \det \begin{pmatrix}

a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}\; \right| $$

Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:
 * $$V = a \cdot b \cdot c \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma) - \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)}$$

Dabei sind $$\alpha = \angle(\vec b, \vec c), \quad \beta = \angle(\vec a, \vec c), \quad \gamma = \angle(\vec a, \vec b) $$ die Winkel zwischen den Kanten und $$a,b,c $$ die Kantenlängen.

Der Nachweis dieser Formel lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei $$M$$ die 3x3-Matrix, deren Spaltenvektoren die Vektoren $$\vec a, \vec b,\vec c$$ sind. Dann gilt
 * $$ \begin{align}

V^2 &= (\det(M))^2 = \det(M) \cdot \det(M) = \det(M^T) \cdot \det(M) =\det (M^T \cdot M) \\ &= \det \begin{pmatrix} \vec a\cdot \vec a & \vec a\cdot \vec b & \vec a\cdot \vec c \\ \vec b\cdot \vec a & \vec b\cdot \vec b & \vec b\cdot \vec c \\ \vec c\cdot \vec a & \vec c\cdot \vec b & \vec c\cdot \vec c \end{pmatrix} = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 \cdot (1 + 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma) - \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)) \end{align}$$ Im letzten Schritt wurden die Gleichungen $$\vec a \cdot \vec a = a^2, \quad \vec b \cdot \vec b = b^2, \quad \vec c \cdot \vec c = c^2, \quad \vec a\cdot \vec b = a \cdot b \cdot \cos(\gamma), \quad \vec a \cdot \vec c = a \cdot c \cdot \cos(\beta), \quad \vec b \cdot \vec c = b \cdot c \cdot \cos(\alpha) $$ benutzt.

Oberfläche


Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Seitenflächen, den 6 Parallelogrammen:
 * $$\begin{align}

A &= 2 \cdot \left(|\vec a \times \vec b| + |\vec a \times \vec c| + |\vec b \times \vec c|\right) \\ &= 2 \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) + 2 \cdot a \cdot c \cdot \sin(\beta) + 2 \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha) \end{align} $$.

Flächenwinkel
In der Ecke, in der die Vektoren $$\vec a, \vec b, \vec c$$ zusammentreffen, liegen die Innenwinkel $$\alpha = \angle(\vec b, \vec c), \quad \beta = \angle(\vec a, \vec c), \quad \gamma = \angle(\vec a, \vec b) $$. Diese Ecke bildet zusammen mit den 3 benachbarten Ecken ein Tetraeder. Betrachtet man die Umkugel dieses Tetraeders, dann gilt nach dem Kosinussatz für Kugeldreiecke die Gleichung
 * $$\cos(\alpha) = \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma) + \sin(\beta) \cdot \sin(\gamma) \cdot \cos(\beta_a)$$

Dabei ist $$\beta_a$$ der Flächenwinkel zwischen den beiden Seitenflächen, die am Vektor $$\vec a$$ liegen.

Daraus folgt
 * $$ \beta_a = \arccos \left(\frac{\cos(\alpha) - \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma)}{\sin(\beta) \cdot \sin(\gamma)}\right) $$

Die Flächenwinkel $$\beta_b$$ und $$\beta_c$$ ergeben sich entsprechend.

Raumwinkel
Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.

Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln $$\alpha = \angle(\vec b, \vec c), \quad \beta = \angle(\vec a, \vec c), \quad \gamma = \angle(\vec a, \vec b) $$ liegt, gilt
 * $$\begin{align}

\Omega_1 &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{\theta_s}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \cdot \tan\left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)}\right) \\ &= 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{\alpha + \beta + \gamma}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{-\alpha + \beta + \gamma}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\alpha - \beta + \gamma}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\alpha + \beta - \gamma}{4}\right)}\right) \end{align}$$ wobei $$\theta_s = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2}$$, $$\theta_a = \alpha$$, $$\theta_b = \beta$$ und $$\theta_c = \gamma$$ ist.

Zwei diagonal gegenüber liegende Raumwinkel in Ecken des Parallelepipeds sind jeweils gleich, weil die 3 anliegenden Innenwinkel gleich sind. Die anderen drei Raumwinkel ergeben sich für
 * $$\theta_a = \alpha, \quad \theta_b = 180^\circ - \beta, \quad \theta_c = 180^\circ - \gamma$$
 * $$\theta_a = 180^\circ - \alpha, \quad \theta_b = \beta, \quad \theta_c = 180^\circ - \gamma$$
 * $$\theta_a = 180^\circ - \alpha, \quad \theta_b = 180^\circ - \beta, \quad \theta_c = \gamma$$