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Demostraciones de límites
Teniendo en cuenta la definición de límite demuestre que los límites pedidos existen

1)$$\lim_{x\to 4} 3x-7=5$$
 * Análisis Preliminar
 * Si el límite existe se debe cumplir:
 * 0 < |x-4| < δ → |(3x-7)-5| < ε
 * Consideremos la parte derecha
 * (3x-7)-5| < ε
 * 3x-12| < ε
 * 3(x-4)| < ε
 * 3| |x-4| < ε
 * x-4| < $$\frac {\epsilon} {3}$$
 * Sea δ >0, se elige un δ = $$\frac {\epsilon} {3}$$
 * 0 < |x-4| < δ → |x-4| < $$\frac {\epsilon} {3}$$
 * →|x-4| |3| < ε
 * →|3x-12| < ε
 * →|(3x-7)-5| < ε

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2)$$\lim_{x \ to 4} \frac {1} {2} x +3 = 5$$
 * Analisis Preliminar
 * Si el límite existe, se debe cumplir:
 * 0 < |x-4| < δ → |$$\frac {1} {2} x$$ +3 -5| < ε
 * Consideremos la parte derecha
 * \$$frac {1} {2} x$$ +3 -5| < ε
 * |$$\frac {1} {2} x$$-2| < ε
 * 2|$$\frac {1} {2} x$$ -2| < 2ε
 * |x-4|< 2ε
 * Sea δ >0, se elige un δ = 2ε
 * 0 < |x-4| < δ →  |x-4|< 2ε
 * → |$$\frac {|x-4|} {|2|}|$$ < ε
 * → |$$\frac {1} {2}$$ x-2|< ε
 * → |($$\frac {1} {2}$$x+3)-5| < ε

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3)$$\lim_{x \ to1} \frac {2x^2+2x-4} {x-1} = 6$$
 * Análisis Preliminar
 * Si el límite existe se debe cumplir:
 * 0 < |x-1| < δ → |$$\frac {2x^2+2x-4} {x-1}$$ - 6| < ε
 * Consideremos la parte derecha
 * $$\frac {2x^2+2x-4} {x-1}$$ - 6| < ε
 * 6 - ε < $$\frac {2x^2+2x -4} {x-1}$$ < ε +6
 * 6 - ε < $$\frac {2(x^2+x -2)} {x-1}$$ < ε +6
 * 6 - ε < $$\frac {2(x-1)(x+2)} {x-1}$$ < ε +6
 * 6 - ε < 2(x+2) < ε+6
 * 3-$$\frac {\epsilon} {2}$$ < x+2 < $$\frac {\epsilon} {2}$$ +3
 * -$$\frac {\epsilon} {2}$$ < x+1 <$$\frac {\epsilon} {2}$$
 * x-1| < $$\frac {\epsilon} {2}$$
 * Sea δ >0, se elige un δ = $$\frac {\epsilon} {2}$$
 * 0 < |x-1| < δ → |x-1| < $$\frac {\epsilon} {2}$$
 * →|x-1|< $$\frac {\epsilon} {2}$$
 * → -$$\frac{\epsilon}{2}$$< x-1 < $$\frac{\epsilon}{2}$$
 * →3-$$\frac{\epsilon}{2}$$< x-1+3<$$\frac{\epsilon}{2}$$+3
 * →3-$$\frac{\epsilon}{2}$$< x+2 <$$\frac{\epsilon}{2}$$+3
 * →$$\frac{6-\epsilon}{2}$$< x+2<$$\frac{6+\epsilon}{2}$$
 * →6-ε < 2(x+2) < 6+ε
 * → -ε < 2(x+2)+6 < ε
 * →|2(x+2)+6| <ε
 * →|$$\frac {x-1} {x-1}$$| |2(x+2)-6| < ε
 * →|$$\frac {2(x+2)(x-1)}{x-1}$$ - $$\frac {6(x-1)} {x-1}$$| < ε
 * →|$$\frac {2(x^2-x+2x+2)} {x-1}$$ -6| < ε
 * →|$$\frac {2x^2+2x+4} {x-1}$$ -6 | < ε

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4)$$ \lim_{x \ to 3} \sqrt{3x-5} = 2$$
 * Análisis Preliminar
 * Si el límite existe, se debe cumplir:
 * 0 < |x-3| < δ → |$$\sqrt {3x-5}$$ - 2| < ε
 * Consideremos la parte derecha
 * $$\sqrt {3x-5}$$ - 2| < ε
 * $$\sqrt {3x-5} - 2|^2$$ < $$\epsilon^2$$
 * $$(\sqrt {3x-5})^2 - (2)^2$$| < $$\epsilon^2$$
 * 3x-5-4|< $$\epsilon^2$$
 * 3x-9|< $$\epsilon^2$$
 * 3(x-3)| < $$\epsilon^2$$
 * 3| |x-3| < $$\epsilon^2$$
 * x-3| < $$\frac {\epsilon^2} {3}$$
 * Sea δ >0, se elige un δ = $$\frac {\epsilon^2} {3}$$
 * 0 < |x-3| < δ → |x-3| < $$\frac {\epsilon^2} {3}$$
 * →|3x-9| < $$\epsilon^2$$
 * →|(3x-5)-4| < $$\epsilon ^2$$
 * →|$$\sqrt{3x-5} - \sqrt{4}$$| < $$\sqrt{\epsilon^2}$$
 * →|$$\sqrt{3x-5}$$ - 2| < ε

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Derivadas
Encontrar las derivadas pedidas

1)Derivar:$$\ y=x^2+2x+17 $$
 * $$\ y'=2x+2 $$

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2)Derivar:$$\ y=(x+4)(2x+3)$$
 * $$\ y'=x(2x+3)+ 2(x+4)$$
 * $$\ 2x^2+3x+2x+4$$
 * $$\ 2x^2+5x+4$$

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3)Derivar:$$y= \frac{2x+1}{x+6}$$
 * $$y'=\frac{2(x+6)-1(2x+1)}{(x+6)^2}$$
 * $$y'=\frac {2x+12-2x+1}{(x+6)^2}$$
 * $$y'=\frac{11}{(x+6)^2}$$

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4)Derivar:$$\ y^3+7y=x^3$$
 * $$\ 3y^2y'+7y=3x^2$$
 * $$\ y'= \frac{3x^2}{3y^2+7}$$

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5)Derivar:$$y= \frac{e^(2x+3)}{(x+1)^2}$$
 * $$y'= \frac {e^(2x+3) 2(x+1)^2-2(x+1)e^2x+3}{(x+1)^4}$$
 * $$y'= \frac {(x+1)[e^(2x+3)2(x+1)-e^2x+3]}{(x+1)^4} $$
 * $$y'= \frac {e^(2x+3) 2(x+1)-2e^2x+3}{(x+1)^3}$$
 * $$y'= \frac {2e^(2x+3) [(x+1)-1]}{(x+1)^3}$$

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6)Derivar:$$\ y=3x^4x^3+2x-5$$
 * $$y'= 3x^4x^3+2x-5 [\frac{3 (4x^3+2x-5}{3x}+12x^2+2(ln3x)]$$
 * $$y'= 3x^4x^3+2x-5 [\frac{ (4x^3+2x-5}{x}+12x^2+2(ln3x)]$$
 * $$\ y'= 3x^4x^3+2x-5 [\frac{ (4x^3+2x-5+12x^2+2)(ln3x)}{x}]$$

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7)Derivar: $$\ y^2+x^2=16$$
 * $$\ 2yy'+2x=0$$
 * $$\ 2yy'= -2x$$
 * $$\ y'= \frac{-2x}{2y}$$
 * $$\ y' = \frac {-x}{y}$$

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8)Derivar:$$f(x)= \frac {1}{x+1}$$
 * $$\ f'(x)= \frac {-1}{(x+1)^2}$$

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Derivadas Trigonometricas
1)Derivar:$$\ y=Cos^-1x$$
 * $$\ Cosy=x$$
 * $$\ -Senyy'=1$$
 * $$\ y'=\frac{1}{-seny}$$
 * $$\ y'=\frac{-1}{\sqrt{1-cos^2y}}$$
 * $$\ y'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$$

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2)Derivar:$$\ y=tan^-1x$$
 * $$\ tany=x$$
 * $$\ sec^2yy'=1$$
 * $$\ y'=\frac{1}{sec^2y}$$
 * $$\ y'=\frac{1}{1+tan^2y}$$
 * $$\ y'=\frac{1}{1+x^2}$$

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3)Derivar$$\ y=sec^-1x$$
 * $$\ secy=x$$
 * $$\ (tany secy)y'=1$$
 * $$y'=\frac{1}{tany secy}$$
 * $$y'=\frac{1}{secy\sqrt{sec^2-1}}$$
 * $$y'=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$$

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4)Derivar:$$\ y=csc^-1x$$
 * $$\ cscy=x$$
 * $$\ (-cscy ctgy)y'=1$$
 * $$\ y'=\frac{1}{-cscy ctgy}$$
 * $$\ y'=\frac{-1}{cscy \sqrt{csc^2y-1}}$$
 * $$\ y'=\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}$$

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5)Derivar:$$\ y= (sen(x)+tan(x)) (sec(x)-tan(x))$$
 * $$\ y'=(tan(x)sec(x)+sec(x)^2)(sec(x)-tan(x))+(tan(x)sec(x)-sec(x)^2)(sec(x)tan(x))$$
 * $$\ y'=(tan(x)sec(x)+sec(x)^2)(sec(x)-tan(x))+(tan(x)sec(x)-sec(x)^2)(sec(x)+tan(x))$$
 * $$\ y'=(tan(x)sec(x)^2-tan(x)^2sec(x)+sec(x)^3-sec(x)^2tan(x))+(tan(x)sec(x)^2+tan(x)^2sec(x)-sec(x)^3-sec(x)^2tan(x))$$
 * $$\ y'= -tan(x)^2sec(x)+sec(x)^3+tan(x)^2sec(x)-sec(x)^3$$
 * $$\ y'= 0 $$

Emilia

6)Derivar:$$\ y=e^(2x) arccos(3x+1)$$
 * $$y'= e^(2x) 2x arccos(3x+1)+e^2x\frac{3}{\sqrt{1-(3x+1)}}$$
 * $$y'= e^(2x) 2x arccos(3x+1)+e^2x\frac{3}{\sqrt{-3x}}$$
 * $$y'= e^(2x) (2xarccos(3x+1)+\frac{3}{\sqrt{-3x}}$$

Emilia

7)Derivar: $$\ y= 6^(tan^2(3x))$$
 * $$\ y'= 6^(tan^2(3x)) ln6 2tan(3x) sec^2(3x) 3$$
 * $$\ y'= 6^(tan^2(3x)) ln6 6tan(3x) sec^2(3x) 3$$

Emilia

8)Derivar:$$f(x)= \frac {1}{x^2+1}+x^5cos(x)$$
 * $$f'(x)= \frac {-2x}{(x^2+1)^2}+5x^4cos(x)-sen(x)x^5$$

Emilia

luz Emilia

2)Erica tiene 200 pies de valla con la cual planea encerrar un patio rectangular para su perro. Si desea encerrar el area máxima, cuáles serian las dimensiones de esta?


 * $$200=2y+2x *$$
 * $$A=xy$$
 * despejamos y en *     $$y=100-x$$
 * reemplazando          $$A=x(100-x)$$
 * $$A=100x-x^2$$
 * derivando            $$A'=100-2x$$
 * igualando a cero     $$ 0=100-2x$$
 * despejando          $$-2x=-100$$
 * $$x=\frac{-100}{-2}$$
 * $$x=50$$
 * reemplazando x en * $$200=2y+2(50)$$
 * despejando y         $$ 2y=200-100$$
 * $$2y=100$$
 * $$y=50$$

Las dimensiones para encerrar el area máxima serian x=50; y=50 (Tomado del Cálculo de Purcell) Emilia

Razón de Cambio
1) Una escalera de 2m está apoyada contra una pared, la base de la escalera resbala alejandose de la pared, a razón de 0.3m/s. ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 0.8m del piso?


 * $$\frac{dx}{dt}=0.3m/s$$
 * $$\frac{dy}{dt}=? cuando x=0.8m$$
 * $$y^2+x^2=4$$
 * $$2yy'+2xx'=0*$$
 * $$Si x=0.8$$
 * $$y^2+0.64=4$$
 * $$y^2=4-0.64$$
 * $$y=\sqrt{3.36}$$
 * $$y=1.83$$
 * reemplazando en *
 * $$2(1.83)y'+2(0.3)(0.8)=0$$
 * $$3.66y'=-0.48$$
 * $$y'=-0.13$$

La escalera desciende con una rapidez de 0.13m/s Emilia