User:Buragliam

PARTE 1: DETERMINATES

1.
 * $$\begin{vmatrix} 1234 & 9886 \\ 98 & -23 \end{vmatrix} = (1234\cdot (-23)) - (9886 \cdot 98) = -997210$$

2.
 * $$\begin{vmatrix} 187 & -98 \\ 76 & 34 \end{vmatrix} = (187\cdot 34) - (76 \cdot (-98)) = 13806$$

3. Determine el valor de a para que el deteminante sea 35


 * $$\begin{vmatrix} 34 & a \\ 56 & 8 \end{vmatrix} = (34\cdot 8) - 56a = 35$$


 * $$\ -56a + 272 = 35$$


 * $$\ -56a = 35 - 272$$


 * $$ a = \left( \frac{237}{56} \right)$$

4.


 * $$\begin{vmatrix} 12 & 32 & 9\\ 8 & 1 & 3\\ 7 & 6 & 12 \end{vmatrix} $$


 * $$\ = (12\cdot1\cdot12) + (32\cdot3\cdot7) + (9\cdot8\cdot6) - (7\cdot1\cdot9) - (6\cdot3\cdot12) - (12\cdot8\cdot32) = -2103$$

 PARTE 2: GEOMETRÍA 

1. Deduzca la ecuación de la recta que pasa por P(-1, 2) y Q(1,1)


 * $$\begin{vmatrix} x & y & 1\\ -1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$


 * $$\ (x\cdot2\cdot1) + (y\cdot1\cdot1) + (1\cdot-1\cdot1) - (1\cdot2\cdot1) - (x\cdot1\cdot1) - (y\cdot-1\cdot1) = 0$$


 * $$\ 2x+y-1-2-x+y = 0$$
 * $$\ x+2y-3 = 0$$

2. Determine si los puntos P(-2,0), Q(0,1) y R(2,1) están en la misma recta


 * $$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} $$


 * $$\ = (-2\cdot1\cdot1) + (0\cdot1\cdot2) + (1\cdot0\cdot1) - (1\cdot1\cdot2) - (0\cdot0\cdot1) - (-2\cdot1\cdot1) = -2$$

 Como el determinante no es igual a 0 entonces los tres puntos no estan sobre la misma recta 

3. Obtenga la ecuación, el centro y el radio del círculo que pasa por P, Q y R

a. P(0,0); Q(-1,-1); R(0,-2)


 * $$\begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$


 * $$\ (x^2+y^2)\cdot\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ -1 & -1 & 1 \\ 0 &-2 &1 \end{vmatrix} = 2x^2+2y^2 $$


 * $$\ x\cdot\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$


 * $$\ y\cdot\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 4y $$


 * $$\ 1 \cdot\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ 2 & -1 & -1 \\ 4 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0 $$


 * $$\ 2x^2+2y^2 + 4y = 0 $$ Al dividir entre 2:


 * $$\ x^2+ y^2 + 2y = 0 $$


 * $$\ (x^2+ 0x + 0) + (y^2 + 2y + 1 ) = 1 $$


 * $$\ (x + 0)^2+ (y + 1)^2 = 1 $$

El radio es igual a 1, el centro se encuentra en el punto (0,-1)

b. P(5,5); Q(1,-1); R(0,0)


 * $$\begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1\\ 50 & 5 & 5 & 1\\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$


 * $$\ (x^2+y^2)\cdot\begin{vmatrix} 5 & 5 & 1\\ 1 & -1 & 1 \\ 0 &0 &1 \end{vmatrix} = -10x^2 - 10 y^2 $$


 * $$\ x\cdot(-1)^{(1+2)}\begin{vmatrix} 50 & 5 & 1\\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 &1 \end{vmatrix} = 60x $$


 * $$\ y\cdot(-1)^{(1+3)}\begin{vmatrix} 50 & 5 & 1\\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 &1 \end{vmatrix} = 40y$$


 * $$\ 1\cdot(-1)^{(1+4)}\begin{vmatrix} 50 & 5 & 5\\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 &0 \end{vmatrix} = 0 $$


 * $$\ -10x^2 - 10 y^2 + 60x + 40y = 0 $$ Al dividir entre 10 y multiplicar por -1:


 * $$\ x^2 + y^2 - 6x - 4y = 0 $$


 * $$\ (x^2 - 6x)+ (y^2 - 4y) = 0 $$


 * $$\ (x^2 - 6x + 9)+ (y^2 - 4y + 4) = 9+4 $$


 * $$\ (x - 3)^2+ (y - 2)^2 = 13 $$

El radio es igual a $$\sqrt{13}$$, el centro se encuentra en el punto(3,2)

4. Deduzca la ecuación del tipo $$y=ax^2+bx+c$$ para la parábola que pasa por P, Q y R a. P(0,4); Q(1,3); R(-1,9)


 * $$\begin{vmatrix} y & x^2 & x & 1\\ 4 & 0 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 9 & 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$


 * $$\ y\cdot(-1)^{(1+1)}\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 &1 \end{vmatrix} = -2y$$


 * $$\ x^2\cdot(-1)^{(1+2)}\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \\ 9 & -1 &1 \end{vmatrix} = 4x^2$$


 * $$\ x\cdot(-1)^{(1+3)}\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \\ 9 & 1 &1 \end{vmatrix} = -6x$$


 * $$\ 1\cdot(-1)^{(1+4)}\begin{vmatrix} 4 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 1 \\ 9 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 8$$


 * $$\ 4x^2-6x - 2y +4 = 0 $$


 * $$\ y = 2x^2- 3x+4 $$

b. P(2,2); Q(3,1); R(1,7)


 * $$\begin{vmatrix} y & x^2 & x & 1\\ 2 & 4 & 2 & 1\\ 1 & 9 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$


 * $$\ y\cdot(-1)^{(1+1)}\begin{vmatrix} 4 & 2 & 1\\ 9 & 3 & 1 \\ 1 & 1 &1 \end{vmatrix} = -2y$$


 * $$\ x^2\cdot(-1)^{(1+2)}\begin{vmatrix} 2 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 1 \\ 7 & 1 &1 \end{vmatrix} = 4x^2$$


 * $$\ x\cdot(-1)^{(1+3)}\begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\\ 1 & 9 & 1 \\ 7 & 1 &1 \end{vmatrix} = -22x$$


 * $$\ 1\cdot(-1)^{(1+4)}\begin{vmatrix} 2 & 4 & 2\\ 1 & 9 & 3 \\ 7 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 32$$


 * $$\ 4x^2 - 22x - 2y +32 = 0 $$


 * $$\ y = 2x^2- 11x+16 $$

5. Encuentre la ecuación del plano que pasa por P(1,1,1), Q(0,-1,1) y R(4,3,-1)


 * $$\begin{vmatrix} x & y & z & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$


 * $$\ x\cdot(-1)^{(1+1)}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 &1 \end{vmatrix} = 4x$$


 * $$\ y\cdot(-1)^{(1+2)}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \\ 4 & -1 &1 \end{vmatrix} = -2y$$


 * $$\ z\cdot(-1)^{(1+3)}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1 \\ 4 & 3 &1 \end{vmatrix} = 4z$$


 * $$\ 1\cdot(-1)^{(1+4)}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1 \\ 4 & 3 &-1 \end{vmatrix} = -6$$


 * $$\ 4x - 2y + 4z -6= 0 $$