User:Andregonz

Derive:\ f(x)=5x-8
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {5(x+h)-8-(5x-8)}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {5x+5h-8-5x+8}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {5h}{h}$$
 * $$\ 5$$

Determine la derivada en x:(libro purcell)
 * $$\ f(x)=ax^2+bx+c$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {a(x+h)^2+b(x+h)+c-(ax^2+bx+c)}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {a(x^2+2xh+h^2)+bx+bh+c-ax^2-bx-c}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {ax^2+2axh+ah^2+bx+bh+c-ax^2-bx-c}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {h(2ax+ah+b)}{h}$$
 * $$\ 2ax+b$$

Derive::$$\ x^3+5x^2+6x+4$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {(x+h)^3+5(x+h)^2+6(x+h)+4-(x^3+5x^2+6x+4)}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+5x^2+10xh+5h^2+6x+6h+4-x^3-5x^2-6x-4}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {3x^2h+3xh^2+6h^2+10xh+6h}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {h(3x^2+3xh+6h+10x)}{h}$$
 * =$$\ 3x^2+10x+6 $$

Derive implícitamente:


 * $$\ y=(4-5x)^4 $$
 * $$\ 4(4-5x)^3(-5)$$
 * =$$\ -20(4-5x)^3$$

encuentre y':


 * $$\ y=(3-6x^3)^8$$
 * $$\ y'=8(3-6x^3)^7(3-6x^3)$$
 * $$\ y'=8(3-6x^3)^7(-18x^2) $$

Encuentre y':
 * $$\ y=(x^3-3x+2)^9$$
 * $$\ y'=9(x^3-3x+2)^8(x^3-3x+2)$$
 * $$\ y'=9(x^3-3x+2)^8(3x^2-3)$$

Encuentre y':
 * $$\ y= sen^4(13x)$$
 * $$\ y=[sen(13x)]^4$$
 * $$\ y'=4[sen(13x)]^3[sen(13x)]$$
 * $$\ y'=4[sen(13x)]^3[cos(13x)](13x)$$
 * $$\ y'=4[sen(13x)]^3[cos(13x)](13)$$
 * $$\ y'=52cos(13x)sen^3(13x)$$

(calculo purcell) 44)Derive:$$\ y= sen^3(cos t)$$
 * $$\ y=[sen(cos t)]^3$$
 * $$\ y'=3[sen(cos t)]^2[sen(cos t)]$$
 * $$\ y'=3[sen(cos t)]^2[cos(cos t)](cos t)$$
 * $$\ y'=3[sen(cos t)]^2[cos(cos t)](-sen t)$$
 * $$\ y'=-3sen t sen^2(cos t)cos(cos t)]$$

45)Derive:
 * $$\ y= sen^5(x^3+5x)$$
 * $$\ y= [sen(x^3+5x)]^5$$
 * $$\ y'=5[sen(x^3+5x)]^4[sen(x^3+5x)]$$
 * $$\ y'=5[sen(x^3+5x)]^4[cos(x^3+5x)](x^3+5x)$$
 * $$\ y'=5[sen(x^3+5x)]^4[cos(x^3+5x)](3x^2+5)$$
 * $$\ y'=5(3x^2+5)sen^4(x^3+5x)cos(x^3+5x)$$

46)Derive:$$\ 4x^3+7xy^2=2y^3$$
 * $$\ 4x^3+7xy^2=2y^3$$
 * $$\ 12x^2+7x2yy'+7y^2=6y^2y'$$
 * $$\ 7x2yy'-6y^2y'=-7y^2-12x^2$$
 * $$\ y'(14xy-6y^2)=-7y^2-12x^2$$
 * $$\ y'=\frac {-7y^2-12x^2}{14xy-6y^2}$$
 * $$\ y'=\frac {7y^2+12x^2}{6y^2-14xy}$$

47)Derive:$$\ 9x^2+12y^2=32$$
 * $$\ 18x+24yy'=0$$
 * $$\ 24yy'=-18x$$
 * $$\ y'=\frac {-18x}{24y}$$
 * $$\ y'=\frac {-3x}{4y}$$

48)Derive:$$\ xy+5x^2-8y^3=1$$
 * $$\ xy'+y+10x-24y^2y'=0$$
 * $$\ xy'-24y^2y'=-y-10x$$
 * $$\ y'(x-24y^2)=-y-10x$$
 * $$\ y'=\frac {-y-10x}{x-24y^2}$$
 * $$\ y'=\frac {y+10x}{24y^2-x}$$

1)(purcell 3.9)Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0.02 pulgadas por segundo.¿Con qué rapidez aumenta el área de una de sus caras, cuando su radio es de 8.1 pulgadas?

$$\frac {dr}{dt}=0.02$$

$$\frac {da}{dt}=?/ r=8.1p$$

La fórmula que nos permite llevar a cabo este ejercicio es: $$\ A=Pir^2$$
 * $$\frac {dA}{dt}=2Pir\frac {dr}{dt}$$

reemplazo los valores conocidos, en la fórmula obtenida al derivar:
 * $$\frac {dA}{dt}=2(3.14)(8.1)(0.02)$$
 * $$\frac {dA}{dt}=1.01\frac {p^2}{s}$$

(purcell 3.9)De un tubo sale arena a razon de 16 pies cúbicos por segundo. Si la arena al caer forma un montón cónico en el piso, cuya altura siempre es 1/4 del diámetro de la base. Qué tan rápido aumenta la altura cuando el montón es de 4 pies de altura?

El volúmen del cono de arena es:
 * $$\ V=\frac {pir^2h}{3}$$

h(t)= Altura del cono de arena en el instante t r(t)= Radio del circulo de la base del cono de arena v(t)=volumen del cono de arena $$\frac {dh}{dt}=?/h=4 pies $$


 * $$\frac {V(t)}{d(t)}=16 p^3$$

La fórmula para el volúmen del cono, tiene una variable no deseada r; no es deseada puesto que no conocemos su razón dr/dt. entonces lo dejamos en un variable conocida:

sabemos que el diámetro es igual a decir 2r.


 * $$\ h=\frac {1}{4}diametro$$
 * $$\ h=\frac {1}{2}r$$
 * $$\ 2h=r$$

Este resultado se reemplaza en la ecuación original.
 * $$\ V=\frac {1\pi(2h)^2h}{3}$$
 * $$\ V=\frac {\pi4h^3}{3}$$
 * $$\frac {dv}{dt}=\frac {4\pi}{3}3h^2\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {dv}{dt}\frac {1}{4pih^2}=\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {dh}{dt}=16\frac {1}{4\pi(4)^2}$$
 * $$\frac {dh}{dt}=\frac {1}{4\pi}\frac {p}{s}$$

(purcell 3.9)Una escalera de 20 pies está recargada contra un edificio. Si la perte inferior de la escalera se desliza a lo largo del pavimento alejándose directamente del edificio a una velocidad de 1 pie por segundo, ¿Qué tan rápido está descendiendo el extremo superior la escalera, cuando cuando el pie de la escalera está a 5 pies de la pared?

S=20 pies (la longitud de la escalera se toma como un valor constante) h(t)= Altura de la pared x(t)= Distancia desde el pie de la escalera hasta la pared

La fórmula a ultilizar en este ejercicio es pitágoras:
 * $$\ s^2=x^2+h^2$$


 * $$\frac {dx}{dt}=1\frac {p}{s}$$
 * $$\frac {dh}{dt}=?/x=5$$

se reemplazan los valores conocidos en la fórmula original.
 * $$\ (20)^2=x^2+h^2$$

y se deriva:
 * $$\ 0=2x\frac {dx}{dt}+2h\frac {dh}{dt}$$

Como no conocemos el valor de h, lo encontramos despejandolo de la fómula original:
 * $$\ s^2-x^2=h^2$$
 * $$\ (20)^2-(5)^2=h^2$$
 * $$\ 400-25=h^2$$
 * $$\ h=19,36$$

Ahora el resultado se reemplaza:
 * $$\ -2x\frac {dx}{dt}=2h\frac {dh}{dt}$$
 * $$\ -2(5)=2(19,36)\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {-10}{19,36}=\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {dh}{dt}=-0,25$$

El signo negativo indica que el cambio de h con respecto de t va disminuyendo.