User:"Pablo Quintero"

=Axiomas=

Los siguientes ejercicios fueron tomados del Libro "Calculus de Thomas Apostol".


 * Demuestre:

1. $$a.0=0.a=0$$


 * Demostración:

Por hipótesis decimos que,


 * $$a\in \mathbb R$$

Por existencia de neutros, podemos sumar un $$0$$ a $$a.0$$ y sigue siendo $$a.0$$


 * $$a.0+0=a.0$$

Con el fin de aplicar propiedad transitiva, buscamos una ecuación que sea igual a $$a.0$$,(esta será demostrada mas adelante),


 * $$a.0+a.0=a.0$$ (*)

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a $$a.0$$,se igualan por propiedad transitiva


 * $$a.0+0=a.0+a.0$$

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b; podemos cancelar $$a.0$$ en ambos lados.


 * $$a.0=0$$


 * (*) $$a.0+a.0=a.0$$

Por existencia de neutros para la suma, decimos que


 * $$a.0+a.0=a.(0+0)$$

Por existencia neutros, decimos que $$0+0=0$$


 * $$a.0+a.0=a.0$$


 * QED


 * "Pablo Quintero"

2. $$(-a)b=-(ab)$$


 * Demostración:

Por hipótesis decimos que,


 * $$a,b\in \mathbb R$$

Por existencia de inversos para la suma podemos decir que


 * $$ab+(-ab)=0$$

Con el fin de aplicar propiedad transitiva, buscamos una ecuación que sea igual a $$0$$, (esta será demostrada mas adelante),


 * $$ab+(-a)b=0$$ (*)

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a $$0$$, se igualan por propiedad transitiva


 * $$ab+(-ab)=ab+(-a)b$$

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b; podemos cancelar $$ab$$ en ambos lados.


 * $$-(ab)=(-a)b$$


 * (*) $$ab+(-a)b=0$$

Por propiedad distributiva podemos expresar la igualdad como


 * $$ab+(-a)b=[a+(-a)]b$$

Por existencia de inverso para la suma decimos que,


 * $$ab+(-a)b=[0]b$$

Por Teorema $$a.0=0.a=0$$, tenemos que


 * $$ab+(-a)b=0$$


 * QED


 * "Pablo Quintero"

3. $$(a/b)+(c/d)=[(ad+bc)/bd]$$


 * Demostración:

Por hipótesis decimos que,


 * $$a,c\in \mathbb R$$

y


 * $$b,d\in \mathbb R - (0)$$

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad


 * $$(a/b)+(c/d)=(ab^-1)+(cd^-1)$$

Por existencia de neutros para la multiplicación, podemos multiplicar  la expresión por $$1$$. Este $$1$$ se puede expresar de la forma (bd)(bd)^-1.


 * $$(ab^-1)+(cd^-1)=[(ab^-1)+(cd^-1)](bd)(bd)^-1$$

Por propiedad distributiva tenemos que


 * $$(ab^-1)+(cd^-1)=[(ab^-1)(bd)+(cd^-1)(bd)](bd)^-1$$

Por las propiedades: conmutativa, asociativa y existencia del reciproco, tenemos que


 * $$(a/b)+(c/d)=[(ad)+(bc)](ba^-1)$$

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a


 * $$(a/b)+(c/d)=[(ad+bc)/bd]$$


 * QED


 * "Pablo Quintero"

4. $$-0=0/(bc)$$


 * Demostración:

Por hipótesis decimos que,


 * $$0\in \mathbb R$$

y


 * $$-0\in \mathbb R$$

Por existencia de inverso para la suma tenemos que


 * $$0+(-0)=0$$

Por existencia de neutros para la suma tenemos que


 * $$0+0=0$$

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a $$0$$, se igualan por propiedad transitiva


 * $$0+(-0)=0+0$$

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b, cancelamos $$0$$ en ambos lados


 * $$(-0)=0$$


 * QED


 * "Pablo Quintero"

5. $$(a-b)+(b-c)=(a-c)$$


 * Demostración:

Por hipótesis decimos que,


 * $$a,b,c\in \mathbb R$$

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad


 * $$(a-b)+(b-c)=[a+(-b)]+[b+(-c)]$$

Por propiedad asociativa tenemos que


 * $$(a-b)+(b-c)=[a+[(-b)+b]]+(-c)$$

Por existencia de inverso para la suma tenemos que


 * (a-b)+(b-c)=[a+0]+(-c)</math

Por existencia de neutros para la suma tenemos que


 * $$(a-b)+(b-c)=a+(-c)$$

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a


 * $$(a-b)+(b-c)=(a-c)$$


 * QED


 * "Pablo Quintero"

6. $$(-a/b)=(-a)/b$$


 * Demostración:

Por hipótesis decimos que,


 * $$a\in \mathbb R$$

y


 * $$b\in \mathbb R - (0)$$

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad


 * $$(-a/b)=(-ab^-1)$$

Por existencia de neutros para la multiplicación, podemos multiplicar  la expresión por $$1$$. Este $$1$$ se puede expresar de la forma (b)(b^-1).


 * $$(-a/b)=(-ab^-1)(b)(b^-1)$$

Por propiedad asociativa tenemos que


 * $$(-a/b)=[(-ab^-1)(b)](b^-1)$$

Por propiedad asociativa tenemos que


 * $$(-a/b)=[(-a)[(b^-1)b]](b^-1)$$

Por existencia del reciproco tenemos que


 * $$(-a/b)=[(-a)(1)](b^-1)$$

Por existencia de neutros para la multiplicación tenemos que


 * $$(-a/b)=(-a)(b^-1)$$

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a


 * $$(-a/b)=(-a)/b$$


 * QED


 * "Pablo Quintero"

=Desigualdades=

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Calculo de Edwin J. Purcell, sexta edición".


 * Resuelva:

1. $$(-6)<(2x+3)<(-1)$$


 * Respuesta:

Se suma $$ -3$$ a cada parte de desigualdad, con el fin de eliminar el $$3$$ y despejar la variable sola


 * $$(-6-3)<(2x+3-3)<(-1-3)$$

Operando se obtiene


 * $$(-9)<(2x)<(-4)$$

Se divide por $$2$$ a cada parte de desigualdad, con el fin de eliminar el $$2$$ y despejar la variable sola


 * $$(-9/2)<(2x/2)<(-4/2)$$

Operando se obtiene


 * $$(-9/2)<(x)<(-2)$$

Se da el resultado en términos de intervalos


 * $$(-9/2,-2)$$


 * "Pablo Quintero"

2. $$(10x+1)>(8x+5)$$


 * Respuesta:

Se pasa $$(8x+5)$$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado


 * $$10x+1-8x-5>0$$

Operando se obtiene


 * $$2x-4>0$$

Se pasa el $$4$$ al otro lado con el fin de despejar la variable


 * $$2x>4$$

Se pasa el $$2$$ a dividir al otro lado con el fin de despejar la variable


 * $$x>4/2$$

Operando se obtiene


 * $$x>2$$

Se da el resultado en términos de intervalos


 * $$(2,\infty)$$


 * "Pablo Quintero"

3. $$(3x+5)>(7x+17)$$


 * Respuesta:

Se pasa $$(7x+17)$$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado


 * $$3x+5-7x-17>0$$

Operando se obtiene


 * $$-4x-12>0$$

Se pasa el $$-12$$ al otro lado con el fin de despejar la variable


 * $$-4x>12$$

Se pasa el $$-4$$ a dividir al otro lado con el fin de despejar la variable


 * $$x<-12/4$$

Operando se obtiene


 * $$x<-3$$

Se da el resultado en términos de intervalos


 * $$(-\infty,-3)$$


 * "Pablo Quintero"

4. $$(2+3x)<(5x+1)<(16)$$


 * Respuesta:

Se separa la desigualdad con el fin de operar con mayor facilidad


 * $$(2+3x)<(5x+1)$$, $$(5x+1)<(16)$$

Se pasa $$(5x+1)$$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado. Se pasa el $$1$$ al otro lado con el fin de despejar la variable


 * $$2+3x-5x-1<0$$,  $$5x<16-1$$

Operando se obtiene


 * $$1-2x<0$$,       $$5x<15$$

Se pasa el $$1$$ al otro lado con el fin de despejar la variable. Se pasa a dividir el $$5$$ al otro lado con el fin de despejar la variable


 * $$-2x<-1$$,       $$x<15/5$$

Se pasa a dividir el $$-2$$ al otro lado con el fin de despejar la variable
 * $$x>-1/-2$$,      $$x<15/5$$

Operando se obtiene


 * $$x>1/2$$,        $$x<3$$

Ordenando la desigualdad se obtiene


 * $$1/2<x<3$$

Se da el resultado en términos de intervalos


 * $$(1/2,3)$$


 * "Pablo Quintero"

5. $$(2x-4)<(6-7x)<(3x+6)$$


 * Respuesta:

Se separa la desigualdad con el fin de operar con mayor facilidad


 * $$(2x-4)<(6-7x)$$, $$(6-7x)<(3x+6)$$

Se pasa $$(6-7x)$$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado. Se pasa $$(3x+6)$$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado


 * $$2x-4-6+7x<0$$,  $$6-7x-3x-6<0$$

Operando se obtiene


 * $$-10+9x<0$$,     $$-10x<0$$

Se pasa el $$-10$$ al otro lado con el fin de despejar la variable. Se pasa a dividir el $$-10$$ al otro lado con el fin de despejar la variable


 * $$9x<10$$,        $$x>-1/10$$

Se pasa a dividir el $$9$$ al otro lado con el fin de despejar la variable


 * $$x<10/9$$,       $$x>-1/10$$

Ordenando la desigualdad se obtiene


 * $$-1/10<x<10/9$$

Se da el resultado en términos de intervalos


 * $$(-1/10,10/9)$$


 * "Pablo Quintero"

6. $$|x-5|<|x+1|$$


 * Respuesta:

Se eleva al cuadrado cada valor absoluto con el fin de quitar el mismo


 * $$(x-5)^2<(x+1)^2$$

Factorizando se obtiene


 * $$x^2-10x+25-24/-12$$

Operando se obtiene


 * $$x>2$$

Se da el resultado en términos de intervalos


 * $$(2,\infty)$$


 * "Pablo Quintero"

7. $$|3x+3/x+1|<1$$


 * Respuesta:

Por propiedades del valor absoluto, se puede expresar la desigualdad como


 * $$|3x+3|/|x+1|<1$$

Se pasa a multiplicar $$|x+1|$$ al otro lado con el fin de separar los valores absolutos


 * $$|3x+3|<|x+1|$$

Se eleva al cuadrado cada valor absoluto con el fin de quitar el mismo


 * $$(3x+3)^2<(x+1)^2$$

Factorizando se obtiene


 * $$x^2+6x+9<x^2+2x+1$$

Se pasa $$( x^2+2x+1)$$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado


 * $$x^2+6x+9-x^2-2x-1<0$$

Operando se obtiene


 * $$4x+8<0$$

Se pasa el $$8$$ al otro lado con el fin de despejar la variable


 * $$4x<-8$$

Se pasa a dividir el $$4$$ al otro lado con el fin de despejar la variable


 * $$x<-8/4$$

Operando se obtiene


 * $$x<-2$$

Se da el resultado en términos de intervalos


 * $$(-\infty,-2)$$


 * "Pablo Quintero"

=Derivadas=

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".

De las siguientes funciones, encuentre sus derivadas:

1.$$f(x)=\sqrt[2]{1-x^2}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac {-x} {\sqrt[2]{1-x^2}}$$
 * "Pablo Quintero"

2.$$f(x)=\frac {x^2+x+1} {x^2-x+1}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac {(2x+1)(x^2-x+1)-(2x-1)(x^2+x+1)} {(x^2-x+1)^2}$$ $$f'(x)=\frac {-2(x^2-1)} {(x^2-x+1)^2}$$
 * "Pablo Quintero"

3.$$f(x)=\frac {xa} {x^2-a^2} + \frac {xa} {x^2+a^2}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac {a(x^2-a^2)-xa(2x)} {(x^2-a^2)^2} + \frac {a(x^2+a^2)-xa(2x)} {(x^2+a^2)^2}$$ $$f'(x)=\frac {-a(x^2-a^2)} {(x^2-a^2)^2} + \frac {a(x^2+a^2)} {(x^2+a^2)^2}$$
 * "Pablo Quintero"

4.$$f(x)=\frac {x-\sqrt[2]{x}} {x+\sqrt[2]{x}} $$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac {(1-1/2\sqrt[2]{x})(x+\sqrt[2]{x})-(x-\sqrt[2]{x})(1-1/2\sqrt[2]{x})} {(x+\sqrt[2]{x})^2}$$ $$f'(x)=\frac {2\sqrt[2]{x}+1} {(x+\sqrt[2]{x})^2}$$
 * "Pablo Quintero"

5.$$f(x)=\frac {2x^2+x-8} {3x+2}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac{(4x+1)(3x+2)-3(2x^2+x-8)} {(3x+2)^2}$$ $$f'(x)=\frac{6x^2-8x+26} {(3x+2)^2}$$
 * "Pablo Quintero"

6.$$f(x)=\frac {x^2*a^2} {x^3+a^3}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=\frac {2xa^2(x^3+a^3)-3x^2(x^2*a^2)} {(x^3+a^3)^2}$$ $$f'(x)=\frac {xa^2(2a^3-x^3)} {(x^3+a^3)^2}$$
 * "Pablo Quintero"

7.$$f(x)=\sqrt[2]{(\frac {x+1}{x-1})^3}$$
 * Respuesta:

$$f'(x)=(\frac {x+1}{x-1})^3/2$$ $$f'(x)=3/2(\frac {x+1}{x-1})^1/2*\frac {(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}$$ $$f'(x)=\frac {-3}{(x-1)^2}*\sqrt[2]{\frac {x+1}{x-1}}$$
 * "Pablo Quintero"

=Máximos y Mínimos=

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".

1.Para enviar cierto tipo de paquetes por correo la empresa transportadora exige que sean de base cuadrado y que la suma de sus lados no supere 150 cm. Halle el volumen máximo que estos paquetes pueden encerrar.

Sean x, x, y las dimensiones del paquete, entonces


 * $$x+x+y=150$$

El volumen del paquete $$V = x^2y$$


 * $$V =x^2y=x^2(150-2x)$$	 (0 ≤ x ≤ 75)


 * $$dV/dx=300x-6x^2=0$$

entonces $$ x=0$$, $$x=50$$

tenemos que cuando $$ x=0$$, $$V=0$$	y cuando $$x=50$$, $$V=50^3$$

Si $$ x=75$$ entonces $$V=0$$, por lo tanto, el volumen máximo es


 * $$50^3=125000cm^3$$
 * "Pablo Quintero"

2.Una recta paralela al eje OY corta en P y Q las curvas


 * $$y=3x2+7x$$, $$y=3x$$

Halle la longitud máxima del segmento PQ.

PQ=f(x)=|$$(3x^2+7x)$$–$$(3x)$$|=$$|3x^2+4x|$$


 * PQ=$$3x^2+4x$$    sí   $$x \in (-\infty, -4/3) U (0, \infty)$$


 * PQ=$$-3x^2$$–4x    sí   $$x \in (-4/3,0)$$


 * f’(x)=$$6x+4x$$    sí    $$x\in (- \infty, -4/3) U (0, \infty)$$


 * f’(x)=$$-6x$$–4x    sí   $$x\in (-4/3, 0)$$

f es decreciente en ($$-\infty$$, -4/3), creciente en (-4/3, -2/3), decreciente (-2/3, 0), creciente en (0, $$\infty$$)

Luego f toma un máximo local en


 * $$x=-2/3$$
 * "Pablo Quintero"

3.Hallar el máximo y el mínimo de x2 + y2 cuando x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

Sea S=x2+y2  donde x+y=1       (x≥0, y≥0) entonces S=$$x^2+(1-x)^2$$=$$2x^2$$–$$2x+1$$

Los puntos críticos de S:


 * dS/dx=$$4x$$–$$2$$=$$0$$


 * $$x=1/2$$, $$S=1/2$$

Los valores de S en los extremos son:
 * S(0)=1, S(1)=1

Entonces:
 * S(0)=S(1)=1      (máximo de S)


 * S(1/2)=1/2       (mínimo de S)
 * "Pablo Quintero"

=Razón de Cambio=

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".

1.Un radio de una esfera crece a la velocidad de 1mm/seg, a qué velocidad están creciendo superficie y su volumen cuando el radio es 10 cm?

Sea V, S el volumen y la superficie de la esfera de radio r, entonces


 * V=$$4/3 \pi r^3$$, 	 S=$$4 \pi r^2$$

entonces


 * dV/dt =$$4 \pi r^2 $$(dr/dt),	 dS/dt=$$8 \pi r$$ dr/dt

Si dr/dt =$$1$$(mm/seg),
 * = $$0.1$$(cm/seg), r = $$10$$cm

entonces


 * dV/dt=$$4 \pi 10^2 (0.1)=40 \pi$$(cc./seg)


 * dS/dt=$$8 \pi 10(0.1)=8 \pi$$($$cm^2$$/seg)
 * "Pablo Quintero"

2.Para gases ideales se sabe que PV=constante, siendo P la presión del gas y V el volumen del recipiente que lo contiene. Cómo varía la presión de un gas contenido en un recipiente que disminuye su volumen a la razón de 10c.c./seg., cuando V=$$500c.c. y P=15kg./ cm^2?


 * PV=c	 (c = constante)

Entonces


 * (dV/dtV+PdV/dt)=0

Pero
 * dV/dt=-10(cm^3/seg)


 * V=500 (cm^3), P=15(kg/cm^2)

entonces
 * dP/dt=-(P/V)dV/dt==0.3 (kg/cm^2$$seg)
 * "Pablo Quintero"

3.Los ejes mayor y menor de una elipse aumentan sus longitudes a las velocidades respectivas de 1cm/seg, y 2cm/seg. A qué rata crece su área cuando el eje mayor mide 10 cm y el eje menor 6 cm?. (Área de una elipse: S=$$\pi$$ab siendo a y b las semi-longitudes de sus ejes).

Sean a,b los ejes mayor y menor de la elipse, entonces el área de la elipse S es:


 * S=$$\pi$$ab


 * dS/dt=$$\pi$$b(da/dt)+$$\pi$$a(db/dt)

Pero


 * da/dt =$$1$$, db/dt =$$2$$.

Entonces


 * dS/dt=pb+$$2\pi$$a=$$\pi$$(6)+$$2\pi(10) $$ =$$26\pi$$ ($$cm^2$$/seg)
 * "Pablo Quintero"